当方まだiPhone7が手元にないので検証できませんが、まずはiTunesが最新のバージョンになっているか確認してみてください。
右上の「ヘルプ＞更新プログラムを確認」
更新があるようなら、最新バージョンに更新を。
これでも認識されないようなら、USBポートを変更して挿し直してみてくださいね。

個人的には、iPhone 5sに3万出して修理するなら、iPod Touchか、新しく発売されると噂のある新型の4インチiPhoneを購入するほうが良いかなあと思います。３月に発表されるとの噂なので、もう少し待ってみてはいかがですか？

iCloudミュージックライブラリ（設定→ミュージック）でバックアップしておけば、おそらく引き継げると思います。ただし、管理人はいつもiTunesを使ってバックアップしているので未検証です。もしも無事引き継げた場合はご一報いただけると助かります(*´ω｀)

はじめまして。色々と推測はできるのですが、こればかりは実際に試してみないと確実な事は言えません。データという大事なものを扱う以上、推測でアドバイスは危険なので、お手数ですがauで直接聞いてみるのが一番安全だと思います。お手数ですが、よろしくお願い致します。

とりあえず、不要な写真やアプリを削除したり、iCloudにバックアップする必要が無いアプリは停止するなどすれば、だいぶ容量が削減できると思いますよ。例えばパソコンから動画をVLCなどで見るために保存している場合は、VLCを除外するだけでだいぶ容量が空くと思います。